Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y=mx2+4x+1．

（1）當拋物線C經過點A（﹣5，6）時，求拋物線的表達式及頂點坐標；

（2）若拋物線C：y=mx2+4x+1（m＞0）與x軸的交點的橫坐標都在﹣1和0之間（不包括﹣1和0），結合函數的圖象，求m的取值范圍；

（3）參考（2）小問思考問題的方法解決以下問題：

關于x的方程x﹣4=在0＜x＜4范圍內有兩個解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+1，（﹣2，﹣3）（2）3＜m≤4（3）﹣1＜a＜3

【解析】

試題分析：（1）把點A（﹣5，6）代入拋物線y=mx2+4x+1求出m的值，即可得出拋物線的表達式與頂點坐標；

（2）根據拋物線C：y=mx2+4x+1（m＞0）與x軸的交點的橫坐標都在﹣1和0之間可知當x=﹣1時，y＞0，且△≥0，求出m的取值范圍即可；

（3）方程x﹣4=在0＜x＜4范圍內有兩個解即拋物線y=x2﹣4x﹣a+3與x軸在0＜x＜4范圍內有兩個交點，從而可得當x=0時y＞0，x=4時y＞0，且△＞0，解之可得．

試題解析：（1）∵拋物線C：y=mx2+4x+1經過點A（﹣5，6），

∴6=25m﹣20+1，解得m=1，

∴拋物線的表達式為y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣3）；

（2）∵拋物線C：y=mx2+4x+1（m＞0）與x軸的交點的橫坐標都在﹣1和0之間，

∴當x=﹣1時，y＞0，且△≥0，即，

解得：3＜m≤4；,

（3）方程x﹣4=的解即為方程x2﹣4x﹣a+3=0的解，

而方程x2﹣4x﹣a+3=0的解即拋物線y=x2﹣4x﹣a+3與x軸交點的橫坐標，

∵方程在0＜x＜4范圍內有兩個解，

∴當x=0時y＞0，x=4時y＞0，且△＞0，

即，

解得：﹣1＜a＜3．