Question

【題目】如圖，在ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點．

（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在ABCD中，AB=CD，

∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．

又∵BE=EC= BC，AF=DF= AD，

∴BE=DF．

∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四邊形AECF為菱形，

∴AE=EC．

又∵點E是邊BC的中點，

∴BE=EC，即BE=AE．

又BC=2AB=4，

∴AB= BC=BE，

∴AB=BE=AE，即△ABE為等邊三角形，

ABCD的BC邊上的高為2×sin60°= ，

∴菱形AECF的面積為2 ．

【解析】（1）在ABCD中，AB=CD，得到BC=AD，∠ABC=∠CDA，又因為BE=EC= BC÷2，AF=DF= AD÷2，得到BE=DF，得到△ABE≌△CDF；（2）由四邊形AECF為菱形，得到AE=EC，得到AE=EC，又點E是邊BC的中點，得到BE=EC，即BE=AE，又BC=2AB=4，得到AB=BE，得到AB=BE=AE，即△ABE為等邊三角形，所以ABCD的BC邊上的高為2×sin60°= ，菱形AECF的面積為2 ．