Question

【題目】已知：在正方形ABCD中，點E在 BC邊上，連接 DE，以DE為直角邊作等腰直角三角形EDF（∠DEF=90°），過點C作 DE的垂線，垂足為G，交AB于點H，連接 FH．

（1）如圖 1，求證：四邊形FECH為平行四邊形

（2）如圖 2，連接 DH和 AF，點 E 為 BC 中點，在不添加任何輔助線與字母的情況下，請直接寫出與平行四邊形FECH面積相等的所有三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△DCE、△CBH、△DAH、△FAD．

【解析】

（1）根據正方形的性質證明△ECD≌△HBC，得出ED=HC，再根據△DEF為等腰直角三角形，得出EF=CH，根據角的等量代換得出，從而有EF∥CH，即可證明結論；

（2）利用正方形的性質以及平行四邊形的性質結合已知條件可用含正方形邊長BC的式子表示出平行四邊形的面積，再找出與其面積相等的三角形即可．

解：（1）證明：如下圖，

∵正方形 ABCD

∴CD=BC，∠BCD=∠ABC=90°

∵CG⊥DE

∴∠CGD=∠EGC=90°

∵∠GDC+∠GCD=90°，∠BCH+∠GCD=90°

∴∠GDC=∠BCH

∴△ECD≌△HBC

∴ED=HC

∵△DEF為等腰直角三角形

∴DE=EF，∠DEF=∠EGC=90°

∴EF=CH，EF∥CH

∴四邊形 FECH 為平行四邊形

（2）如下圖 ，點 E 為 BC 中點，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴

∵四邊形FECH是平行四邊形，

∴，

∴

∴，

由（1）可知，△ECD≌△HBC，

∴

∴，

∵

∴與平行四邊形FECH面積相等的三角形有：△DCE、△CBH、△DAH、△FAD．