Question

【題目】如圖，直線l1⊥x軸于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B是直線l1上的動(dòng)點(diǎn)．直線l2：y=x+1交l1于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l3垂直于l2 ， 垂足為D，過(guò)點(diǎn)O，B的直線l4交l2于點(diǎn)E，當(dāng)直線l1 ， l2 ， l3能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S1 ， 當(dāng)直線l2 ， l3 ， l4能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S2 ．

（1）若點(diǎn)B在線段AC上，且S1=S2 ， 則B點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）若點(diǎn)B在直線l1上，且S2= S1 ， 則∠BOA的度數(shù)為 ．

Answer 1

【答案】
（1）（2，0）
（2）15°或75°
【解析】解：（1.）設(shè)B的坐標(biāo)是（2，m），
∵直線l2：y=x+1交l1于點(diǎn)C，
∴∠ACE=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3﹣m|，
則BD=CD= BC= |3﹣m|，
S1= ×（ |3﹣m|）2= （3﹣m）2 ．
設(shè)直線l4的解析式是y=kx，過(guò)點(diǎn)B，
則2k=m，解得：k= ，
則直線l4的解析式是y= x．
根據(jù)題意得： ，解得： ，
則E的坐標(biāo)是（ ， ）．
S△BCE= BC| |= |3﹣m|| |= ．
∴S2=S△BCE﹣S1= ﹣ （3﹣m）2 ．
當(dāng)S1=S2時(shí)， ﹣ （3﹣m）2= （3﹣m）2 ．
解得：m1=4或m2=0，
易得點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，3），即AC=3，
∵點(diǎn)B在線段AC上，
∴m1=4不合題意舍去，
則B的坐標(biāo)是（2，0）；
（2.）分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)

當(dāng)S2= S1時(shí)， ﹣ （3﹣m）2= （3﹣m）2 ．
解得：m=4﹣2 或2 （不在線段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）．
則AB=4﹣2 ．
在OA上取點(diǎn)F，使OF=BF，連接BF，設(shè)OF=BF=x．
則AF=2﹣x，根據(jù)勾股定理， ，
解得： ，
∴sin∠BFA= ，
∴∠BFA=30°，
∴∠BOA=15°；
②當(dāng)點(diǎn)B在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，

此時(shí)，
當(dāng)S2= S1時(shí)，得： ，
解得符合題意有：AB=4+2 ．
在AB上取點(diǎn)G，使BG=OG，連接OG，設(shè)BG=OG=x，
則AG=4+2 ﹣x．根據(jù)勾股定理，得 ，
解得：x=4，
∴sin∠OGA= ，
∴∠OGA=30°，
∴∠OBA=15°，
∴∠BOA=75°；
③當(dāng)點(diǎn)B在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，S1＞S2 ，

此時(shí)滿足條件的點(diǎn)B不存在，
綜上所述，∠BOA的度數(shù)為15°或75°．