Question

（2006•南通）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，B（5，0），M為等腰梯形OBCD底邊OB上一點，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．
（1）求點D，B所在直線的函數表達式；
（2）求點M的坐標；
（3）∠DMC繞點M順時針旋轉α（0°＜α＜30°后，得到∠D₁MC₁（點D₁，C₁依次與點D，C對應），射線MD₁交邊DC于點E，射線MC₁交邊CB于點F，設DE=m，BF=n．求m與n的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DA⊥OB，垂足為A．利用三角函數可求得，點D的坐標為（1，），設直線DB的函數表達式為y=kx+b，把點B（5，0），D（1，）代入解析式利用待定系數法，得直線DB的函數表達式為y=-x+；
（2）先證明△ODM∽△BMC．得，所以OD•BC=BM•OM．設OM=x，則BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M點坐標；
（3）（Ⅰ）當M點坐標為（1，0）時，如圖①，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以，
可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1-．（Ⅱ）當M點坐標為（4，0）時，OM=4，BM=1．同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，得，所以DE=2CF．解得m=2（2-n），即m=4-2n．
解答：解：（1）過點D作DA⊥OB，垂足為A．
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴點D的坐標為（1，），
設直線DB的函數表達式為y=kx+b，
由B（5，0），D（1，），得，
解得，
∴直線DB的函數表達式為y=-x+；

（2）∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°，
∴∠ODM=∠CMB，
∵等腰梯形ABCD的∠DOB=∠CBO，
∴△ODM∽△BMC，
∴，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B點為（5，0），
∴OB=5．
設OM=x，則BM=5-x
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x₁=1，x₂=4，
∴M點坐標為（1，0）或（4，0）；

（3）解：（Ⅰ）當M點坐標為（1，0）時，如圖1，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-；
（Ⅱ）當M點坐標為（4，0）時，如圖2
OM=4，BM=1．
同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，
∴，
∴DE=2CF，
∵CF=2-n，DE=m，
∴m=2（2-n），即m=4-2n．
綜上所述，m與n的函數關系式為：m=1-或m=4-2n．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用，其涉及的知識點比較多．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義結合梯形的性質利用相似比中的成比例線段作為相等關系求線段之間的等量關系．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．