Question

已知二次函數y=（m²-2）x²-4mx+n的圖象關于直線x=2對稱，且它的最高點在直線y=x+1上．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）若此拋物線的開口方向不變，頂點在直線y=x+1上移動到點M時，圖象與x軸交于A、B兩點，且S_△ABM=8，求此時的二次函數的解析式．

Answer 1

解：（1）∵二次函數y=（m²-2）x²-4mx+n的圖象關于直線x=2對稱，
∴x=-=-=2，
整理可得：
（m+1）（m-2）=0，
m=-1或m=2，
若m=-1則y=-x²+4x+n
若m=2則y=2x²-8x+n
因為它的最高點在直線y=x+1上，
所以拋物線圖象向下，a＜0，則m=-1，
把x=2代入y=x+1，故y=2，
把m=-1，（2，2）代入得n=-2，
則y=-x²+4x-2；

（2）因為頂點在直線y=x+1上移動到點M，設M（h，h+1），
因為拋物線的開口方向不變，a=-1，
設y=-（x-h）²+h+1，
=-x²+2hx-h²+h+1，
AB===，
由S_△ABM=8，
所以：××（h+1）=8，
設=t，
×t×[（2h+4）]=8，
×t×t²=8，
則t³=64，
故t=4，即h=6，代入y=-x²+2hx-h²+h+1得，
故此時解析式為：y=-x²+12x-32．
分析：（1）根據圖象關于直線x=2對稱得出x=-=-=2，求出m的值，再利用它的最高點在直線y=x+1上，得出圖象開口向下以及y的值，進而得出頂點坐標，得出解析式即可；
（2）首先假設頂點在直線y=x+1上移動到點M，設M（h，h+1），利用拋物線的開口方向不變，a=-1，得出二次函數的頂點式，再整理為一般形式，利用拋物線與x軸交點距離公式AB=求出h的值，進而得出二次函數的解析式即可．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及二次函數的性質，根據拋物線的平移不改變a的值以及拋物線與x軸交點距離公式AB=求出是解題關鍵．