Question

巳知二次函數y=a（x²-6x+8）（a＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C．點D是拋物線的頂點．
（1）如圖①．連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點0'恰好落在該拋物線的 對稱軸上，求實數a的值；
（2）如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的 右側．小林同學經過探索后發現了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等 （即這四條線段不能構成平行四邊形）．“若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；
（3）如圖②，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標t是大于3的常數，試問：是否存在一個正數a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等 （即這四條線段能構成平行四邊形）？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出拋物線與x軸交點坐標和對稱軸，再根據∠OAC=60°得出OC，從而求出a．
（2）本題需先分兩種情況進行討論，當P是EF上任意一點時，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．
（3）本題需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出關于t與a的方程，從而得出a的值，即可求出答案．

解答：解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0，
解得x₁=2，x₂=4；
令x=0，解得y=8a，
∴點 A、B、C的坐標分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
該拋物線對稱軸為直線x=3，
∴OA=2，
如圖①，設拋物線對稱軸與x軸的交點為M，則AM=1，
由題意得：O′A=OA=2，
∴O′A=2AM，
∴∠O′AM=60°，
∴∠OAC=∠O′AC=60°，
∴OC=2

3

，即8a=2

3

，
∴a=

3

4

；

（2）若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，結論同樣成立，
①如圖②，設P是邊EF上的任意一點，連接PM，
∵點E（4，4）、F（4，3）與點B（4，0）在一直線上，點C在y軸上，
∴PB＜4，PC≥4，
∴PC＞PB，
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形，
②設P是邊FG上的任意一點（不與點G重合），
∵點F的坐標是（4，3），點G的坐標是（5，3），
∴FB=3，GB=

10

，
∴3≤PB＜

10

，
∵PC≥4，
∴PC＞PB，
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此時線段PA、PB、PC、PD也不能構成平行四邊形；

（3）存在一個正數a，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形，
如圖③，∵點A、B是拋物線與x軸交點，點P在拋物線對稱軸上，
∴PA=PB，
∴當PC=PD時，線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形，
∵點C的坐標是（0，8a），點D的坐標是（3，-a），
點P的坐標是（3，t），
∴PC²=3²+（t-8a）²，PD²=（t+a）²，
由PC=PD得PC²=PD²，
∴3²+（t-8a）²=（t+a）²，
整理得：7a²-2ta+1=0有兩個不相等的實數根，
∴a=

2t± 4t2-28

14

=

t± t2-7

7

，
∴a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，
∵t＞3，
∴顯然a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，滿足題意，
∴當t是一個大于3的常數時，存在兩個正數a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，使得線段PA、PB、PC、PD能構成一個平行四邊形．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合問題，在解題時要注意運用數形結合和分類討論，把二次函數的圖象與性質和平行四邊形的判定相結合是本題的關鍵．