Question

如圖，在梯形中，∥，，，點在對角線上，作，連接，且滿足．

（1）求證：；
（2）當時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

Answer 1

見解析

證明：（1）∵， 
∴                                            （1分）
∵，
∴≌                                            （1分）
∴                                            （1分）
∵，
∴                                      （1分）
∴，
∴                                               （1分）
∴                                                  （1分）
（2）四邊形是正方形                                         （1分）
∵，
∴，
∴                                                 （2分）
∵ 
∴∽                                            （1分）
∴                                      （1分）
∵，    
∴四邊形是矩形                                         （1分）
∵， 
∴四邊形是正方形
（1）利用互余關系證明∠BCE=∠DCF，又有BC=DC，EC=CF，可證△BCE≌△DCF，得出∠EBC=∠FDC，由已知可知△BCD為等腰直角三角形，故有∠BDC=∠EBC=∠FDC=45°，可證∠FDB=90°，證明BD⊥DF；
（2）四邊形DECF是正方形．由BC2=DE•DB及BC=DC，得DC2=DE•DB，轉化為比例式，利用公共角∠CDE=∠BDC，證明△CDE∽△BDC，則有∠DEC=∠DCB=90°，判斷四邊形DECF是矩形，結合條件CE=CF，可證四邊形DECF是正方形．