Question

【題目】如圖，已知和均為等腰直角三角形，，點為的中點，過點與平行的直線交射線于點．

（1）當，，三點在同一直線上時(如圖1)，求證：為的中點；

（2）將圖1中的繞點旋轉，當，，三點在同一直線上時(如圖2)，求證：為等腰直角三角形；

（3）將圖1中繞點旋轉到圖3位置時，（2）中的結論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）成立，證明見解析．

【解析】

（1）利用ASA證明，可得，易證結論；

（2）由及、為等腰直角三角形的性質可得，，，由SAS可證，由全等三角形的性質易證為等腰直角三角形；

（3）由及、為等腰直角三角形的性質可得，，由直角三角形兩銳角互余及三角形內角和定理可知，利用證明，由全等三角形的性質易證為等腰直角三角形.

證明：（1）∵

∴(兩直線平行，內錯角相等)

∵點為的中點

∴，在和中

∴

∴

∴為的中點

（2）∵

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∵且

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴為等腰直角三角形

（3）（2）中的結論仍成立.

∵

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵為等腰直角三角形

∴

∵，

，

∴

∴

∵

∴

∴，

∴

∴為等腰直角三角形