Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，一次函數y=﹣x+b（b為常數，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方．

（1）若直線AB與有兩個交點F、G．

①求∠CFE的度數；

②用含b的代數式表示FG2，并直接寫出b的取值范圍；

（2）設b≥5，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）4≤b＜5；（3）存在 P（， ）．

【解析】試題分析：（1）①∠EOC和∠EFC是所對的圓心角和圓周角，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半進行求解即可；

②過O作OM⊥FG于點M，連接OF，先求出一次函數圖像與x軸、y軸交點A、B的坐標，然后根據勾股定理求出AB的長，進而利用面積法求出OM的長，再利用勾股定理表示出FM2，再由垂徑定理得FG＝2FM，進而可以表示出FG2，再根據式子寫出b的范圍；

（2）根據前面結論OM＝，當b＞5時，直線與圓相離，當b＝5時，直線與圓相切，連接OP，根據兩直線垂直時比例系數的積為－1求出OP的解析式，然后聯立兩個解析式即可求出點P的坐標．

試題解析：

解：（1）①∵∠COE＝90°，

∴∠CFE＝∠COE＝45°；

②如圖，作OM⊥AB點M，連接OF，

∵直線的函數式為：y＝，

∴B的坐標為（0，b），A的坐標為（，0），

∴AB＝

＝，

在Rt△OBC中，由面積法可得

OA·OB＝AB·OM，

易得：OM＝，

∵OF＝4，

∴FM2＝OF2﹣OM2＝42﹣（）2 ，

∵OM⊥FG，

∴FG＝2FM，

∴FG2＝4FM2＝4×[42﹣（）2 ]＝64﹣b2，

∵直線AB與有兩個交點F、G．

∴4≤b＜5；

（2）存在．

如圖，

當b＞5時，OM＝＞4，∴直線與圓相離，∠CPE＜45°；

當b＝5時，OM＝＝4，∴直線與圓相切，

∵DE是直徑，

∴∠DCE＝90°，

∵CO⊥DE，且DO＝EO，

∴∠ODC＝∠OEC＝45°，

∴∠CPE＝∠ODC＝45°，

∴存在點P，使∠CPE＝45°，

連接OP，

∵P是切點，∴OP⊥AB，∴OP所在的直線為：y＝，

又∵AB所在的直線為：y＝＋5，

解得

∴P（ ， ）．