Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O為BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點D、點E，連接DE．
（1）過點E作直線EF交AC邊于點F，當EF=AF時，求證：直線EF為半圓O的切線；
（2）當BD=3時，求線段DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE．根據切線的判定定理，需證EF⊥OE；
（2）易證△ABC∽△DBE，得比例線段求解．

解答：（本小題滿分5分）
證明：（1）連接OE．
∵EF=AF，
∴∠A=∠AEF．
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE．
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠AEF+∠OEB=90°．
∴∠FEO=90°．
∵OE是⊙O半徑，
∴EF是⊙O的切線．

解：（2）∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5．
∵BD是直徑，
∴∠DEB=90°．
∴∠DEB=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA．
∴

BD

AB

=

DE

AC

，
∴

3

5

=

DE

3

，DE=

9

5

．

點評：證明經過圓上一點的直線是圓的切線，常作輔助線是連接圓心和該點，證明直線和該半徑垂直．