Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，E是AB邊上一點，且∠A=∠EDF=60°，有下列結論：①AE=BF；②△DEF是等邊三角形；③△BEF是等腰三角形；④當AD=4時，△DEF的面積的最小值為.其中結論正確的個數是（　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】連接BD，如圖所示：

∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，

∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故①正確；
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴②正確；
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③錯誤．
∵△DEF是等邊三角形，邊長最短時，面積最小，
∴當DE⊥AB時，DE最短，此時E為AB的中點，BE=AB=AD=2，

∴DE=2,

∴△DEF的面積=,

∴④正確；
正確的結論有3個.

故選C．