Question

有一張矩形紙片ABCD，按下面步驟進行折疊：

第一步：如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點B、D重合，點C落在點處，得折痕EF；

第二步：如圖②，將五邊形折疊，使AE、重合，得折痕DG，再打開；

第三步：如圖③，進一步折疊，使AE、均落在DG上，點A、落在點處，點E、F落在點處，得折痕MN、QP.這樣，就可以折出一個五邊形DMNPQ.

（Ⅰ）請寫出圖①中一組相等的線段                 （寫出一組即可）；

（Ⅱ）若這樣折出的五邊形DMNPQ（如圖③）恰好是一個正五邊形，當AB=a，AD=b，DM=m時，有下列結論：

①；          ②；

③；            ④.

其中，正確結論的序號是              （把你認為正確結論的序號都填上）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）(答案不惟一，也可以是等)；（Ⅱ）①②③

【解析】（1）由題意知，C′D與CD是對應線段，而AB=CD，故有AD=C′D；

（2）由題意知點G是矩形的中心，即延長DG過B點，延長MN也過點B，

由于五邊形DMNPQ，恰好是一個正五邊形，且由折疊的過程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，

∴∠DBM=∠ABM=18°，∴∠DBA=36°．∵DE=BE，∠EDB=∠DBA=36°，

∴∠ADE=∠MDB-∠EDB=54°-36°=18°．

在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD²+AE²=DE²=BE²，即b²+AE²=（a-AE）²，

解得AE=．∵tan∠ADE=tan18°=，∴a²-b²=2abtan18°，即①正確；

∵BG=DB=，NG=DM=m，NG⊥BD，∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=m：．

∴m=•tan18°，即②正確．

∵AM=AD-DM=b-m，AB=a，∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=（b-m）：a，∴b=m+atan18°，即③正確，同時④錯誤．故①②③正確．