Question

【題目】（14分）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結BE、CE．

（1）若a=5，AC=13，求b．

（2）若a=5，b=10,當BE⊥AC時，求出此時AE的長．

（3）設AE=x，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，求a、b應滿足什么條件，并求出此時x的值．

Answer 1

【答案】（1）b = 12 ；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，利用勾股定理即可計算出結果.
（2）由∵BE⊥AC得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代換得到∠1=∠2，推出得到比例式，即可得到結論；
（3）點在線段上的任一點，且不與重合，當與相似時，則當（如圖2），又由平行線的性質得到推出得到比例式，進而可得得到一元二次方程根據方程根的情況，得到結論．

試題解析：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∵AB=a=5, AC=13，

∴b=12；

如圖1，∵BE⊥AC

又

∴∠1 = ∠2,

又

∴△AEB ∽△BAC,

∴即,

∴.

（3）∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，

∴當△ABE與△BCE相似時，則

所以當△BAE ∽△CEB（如圖2）

則∠1 = ∠BCE，

又BC∥AD,

∴∠2 = ∠BCE,

∴∠1 = ∠2 ,

又

∴△BAE ∽△EDC,

∴ 即 ,

∴ ,

即 ,

當 ,

∵a＞0，b＞0， ∴

即 時， .

綜上所述：當a、b滿足條件b = 2a時△BAE ∽△CEB，此時 (或x = a)；

當a、b滿足條件b＞2a時△BAE ∽△CEB，此時.