Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形。．

（1）概念理解
如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是等鄰邊四邊形。請寫出你添加的一個條件；
（2）問題探究
小明猜想：對角線互相平分的等鄰邊四邊形是菱形．她的猜想正確嗎?請說明理由．
如圖2，小明面了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°,AB=2，BC=1，井將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連結AA′，BC′．小明要是平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”應平移多少距離(即線段BB′的長)？

Answer 1

【答案】
（1）

解：答案不唯一，如：AB=BC，AB=AD，AD=CD，CD=BC；

（2）

解：小紅的結論正確．

理由如下：∵四邊形的對角線互相平分，

∴這個四邊形是平行四邊形，

∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，

∴這個四邊形有一組鄰邊相等，

∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形。

解：由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得：AC= ，

∵將Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= ，

如下圖，當AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2；

如下圖，當AA′=A′C′時，BB′=AA′=AC′= ；

如下圖，當AC′=BC′= 時，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′= ∠ABC=45°

∴∠BB′D=∠ABB′=45°，

∴B′D=BD，

設B′D=BD=x，則C′D=x+1，BB′= x

∵根據在Rt△BC′D中，BC′2=C′D2+BD2即x2+（x+1）2=5，

解得：x=1或x=-2（不合題意，舍去）；

∴BB′= x= ;

當BC′=AB=2時，與第三種情況的方法同理可得：x= 或 （不符合題意舍去）；

∴BB’= x= 。

故平移2或 或 或 。

【解析】（1）根據等鄰邊四邊形的定義，則只需要寫一對鄰邊相等即可；（2）根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形去判定；根據新定義可知，有一組鄰邊相等即是等鄰邊四邊形，所以要分類討論不同相鄰的邊相等時的BB′的長。
【考點精析】關于本題考查的等腰三角形的性質和平行四邊形的性質，需要了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．