Question

（2013•豐臺區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠CBD=30°，∠BCD=45°，若AB=2

2

．求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：過點D作DE⊥BC于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD、BD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DE，利用勾股定理列式求出BE，判斷出△CDE是等腰直角三角形，然后求出CE的長，再根據(jù)三角形的面積公式列式進行計算即可得解．

解答：解：如圖，過點D作DE⊥BC于E，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴AD=AB=2

2

，
BD=2

2

×

2

=4，
∵∠CBD=30°，
∴DE=

1

2

BD=

1

2

×4=2，
BE=

BD2-DE2

=

42-22

=2

3

，
∵∠BCD=45°，
∴CE=DE=2，
∴BC=BE+CE=2

3

+2，
∴四邊形ABCD的面積=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

×2

2

×2

2

+

1

2

×（2

3

+2）×2，
=4+2

3

+2，
=2

3

+6．

點評：本題考查了勾股定理，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線，把△BCD分成兩個直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．