Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm.點P、Q是BC邊上兩個動點(點Q在點P右邊)，PQ＝2cm，點P從點C出發，沿CB向右運動，運動時間為t秒.5s后點Q到達點B，點P、Q停止運動，過點Q作QD⊥BC交AB于點D，連接AP，設△ACP與△BQD的面積和為S(cm)，S與t的函數圖像如圖2所示.

(1)圖1中BC＝ cm，點P運動的速度為 cm/s；

(2)t為何值時，面積和S最小，并求出最小值；

(3)連接PD，以點P為圓心線段PD的長為半徑作⊙P，當⊙P與的邊相切時，求t的值.

Answer 1

【答案】（1）12 , 2；（2）當t＝2時，面積和S最小，最小為21cm2. （3）當t＝1或時⊙P與△ABC的邊相切

【解析】

（1）根據題意知，點Q與點B重合時，△ACP的面積為30，依據三角形面積公式可得PC的長為10，由PQ=2得BC的長為12，根據“速度=路程÷時間”可求出點P的速度；

（2）分別求出PC＝2t，BQ＝10－2t，DQ＝5－t，利用三角形面積公式得到二次函數關系式，進行配方即可求出最值；

（3）分⊙P與AB邊和AC邊相切兩種情況進行分類討論求解即可.

(1)當點Q與點B重合時，△ACP的面積=30，

∴

∵AC=6cm，

∴PC=10cm，

∴BC=PC+PQ=10+2=12cm，

∴點P的速度為：10÷5=2（cm/s）；

(2)由題可知PC＝2t，BQ＝12-2－2t=10-2t，

∵DQ⊥BC,AC⊥BC，

∴DQ∥AC，

∴△DQB∽△ACB，

∴，即

∴DQ＝5－t

∴S＝＝

∴當t＝2時，面積和S最小，最小為21cm2.

(3)⊙P與BC邊不可能相切

i) ⊙P與AB邊相切時△PQD∽△ACB，

∴，

∴t＝1

ii)⊙P與AC邊相切時

在Rt△PQD中，，

∴

∴t＝或t＝(舍去)，

綜上當t＝1或時⊙P與△ABC的邊相切.