Question

【題目】在學習《圓》這一單元時，我們學習了圓周角定理的推論：圓內接四邊形的對角互補；事實上，它的逆命題：對角互補的四邊形的四個頂點共圓，也是一個真命題．在圖形旋轉的綜合題中經常會出現對角互補的四邊形，那么，我們就可以借助“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”，然后借助圓的相關知識來解決問題，例如：

已知：是等邊三角形，點是內一點，連接，將線段繞逆時針旋轉得到線段，連接，，，并延長交于點．當點在如圖所示的位置時：

（1）觀察填空：

①與全等的三角形是________；

②的度數為　　　　　　　

（2）利用題干中的結論，證明：，，，四點共圓；

（3）直接寫出線段，，之間的數量關系．____________________．

Answer 1

【答案】（1）①：②；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）①根據旋轉的性質和等邊三角形的性質可證△ACD≌△BCE；

②根據已推導出的全等三角形和三角形內角和進行角度轉化，可得∠AFB的大小；

（2）根據△ACD≌△BCE得，推導得出四邊形CDFE中，從而證共圓；

（3）先推導出△BDF是等邊三角形，可證△ABD≌△CBP，得出AD=FC，從而得出數量關系．

（1）①∵△ABC是等邊三角形

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°

∵將線段繞逆時針旋轉得到線段

∴CE=CD，∠DCE=60°

∴△DCE是等邊三角形

∴∠DCE=60°

∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°

∴∠ACD=∠BCE

∴△ACD≌△BCE(SAS)

②∵△ACD≌△BCE

∴∠EBC=∠DAC

∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°

∴∠FBC+∠BAD=60°

∴∠AFB=180°－∠ABC－∠FBC－∠BAF=180°－60°－60°=60°

（2）∵．

∴，

∵，

∴．

∴，，，四點共圓；

（證明不唯一）

（3）結論：,如下圖,連接BD

∵△ACD≌△BCE

∴∠CBE=∠CAD，AD=BE

∵∠CAD+∠BAD=60°，∠BAD+∠FBC=60°

∴∠BAD+∠ABD=∠BDF=60°

∵∠AFB=60°

∴△BDF是等邊三角形

∴DF=BF,∴FD+FE=BE

∴△ABD≌△CBF(SAS)

∴AD=FC

∴FD+FE=FC