Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB
的中點，連接DE．點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發，沿
BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t(0＜t
＜4)s．解答下列問題：

(1)當t為何值時，PQ⊥AB？
(2)當點Q在B、E之間運動時，設五邊形PQBCD的面積為ycm²，求y與t之間的函數關系式；
(3)在(2)的情況下，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為
＝1∶29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）y（3）當時，h

解：（1）如圖，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴。
∵點D、E分別是AC、AB的中點，
∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4。
∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90⁰。
又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B。
∴△PQE∽△ABC。∴。
由題意，得PE=4－t，QE=2t－5，
∴，解得。
∴當時，PQ⊥AB。
（2）過點P作PM⊥AB于點M。
由△PME∽△ABC，得，
∴，即。
∴，
 。
∴。
（3）假設存在時刻t使＝1∶29，此時，，
∴，即。
解得（舍去）。
當時，PM=，ME=，EQ=5－2×2=1，
MQ=ME＋EQ=，。
∵，∴。
當時， PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為＝1∶29，此時點E到PQ的距離h。
（1）由△PQE∽△ABC可列式求解。
（2）由△PME∽△ABC可求得，根據可求關系式。
（3）假設存在，由已知＝1∶29可得，即可求出，進一步由求出。