Question

已知關于x的一元二次方程有兩個實數根x₁，x₂．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）是否存在實數k使得成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）不存在

解：（1）∵原方程有兩個實數根，
∴，即。
∴。∴。
∴當時，原方程有兩個實數根。
（2）假設存在實數k使得成立。
∵x₁，x₂是原方程的兩根，∴。                 
由，得。
∴，整理得：。
∴只有當k=1時，上式才能成立。
又∵由（1）知，
∴不存在實數k使得成立。
（1）根據已知一元二次方程的根的情況，得到根的判別式△≥0，據此列出關于k的不等式，通過解該不等式即可求得k的取值范圍。
（2）假設存在實數k使得成立．利用根與系數的關系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式轉化為含有兩根之和、兩根之積的形式，通過解不等式可以求得k的值。