Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在圖（1）中，D是BC邊上的中點，計算DE+DF和BG的長（用a，b表示），并判斷DE+DF與BG的關系．
（2）在圖（2）中，D是線段BC上的任意一點，DE+DF與BG的關系是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，請說明理由．
（3）在圖（3）中，D是線段BC延長線上的點，探究DE、DF與BG的關系．（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）因為D為BC的中點，還能推出DF∥BG，從而可知道DF是BG的中位線，從而可得解．
（2）作輔助線，延長FD到M點，使FM=BG，證明是矩形，和三角形全等就可以證明．
（3）可以得出BG=DE-DF．

解答：解：（1）∵DF⊥AC，BG⊥AC，
∴DF∥BG，
∵D是BC的中點，
∴DF=

1

2

BG=

b a2-4b2

4a

．
連接AD，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=

b a2-4b2

4a

．
∴DE+DF=

b a2-4b2

2a

．
∴DE+DF=BG．

（2）延長FD，使FM=BG，
∵DF⊥AC，BG⊥AC，
∴四邊形BMFG是矩形，
∴BG=MF，
∵∠EDB+∠ABD=90°，∠FDC+∠C=90°，∠ABC=∠C，
∴∠EDB=∠FDC，
∵∠FDC=∠BDM，
∴∠EDB=∠BDM．
∵∠BED=∠BMD，BD=BD，
∴△EBD≌△MBD，
∴ED=MD．
∴BG=DE+DF．

（3）BG=DE-DF．

點評：本題考查等腰三角形的性質，等腰三角形的底角相等以及全等三角形的判定和性質定理等知識點．