Question

【題目】如圖1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是對角線，分別延長AD至E，延長CD至F，使得DE=AD，DF=CD．

（1）求證：四邊形ACEF為菱形．

（2）如圖2，過E作EG⊥AC的延長線于G，若AG=8，cos∠ECG=，則AD=　 　（直接填空）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2 ．

【解析】試題分析：（1）先證明四邊形ACEF是平行四邊形，再由矩形的性質證出AE⊥CF，即可得出四邊形ACEF是菱形；

（2）由菱形的性質得出AC=CE，AD=ED，與三角函數得出CG=CE=AC，得出CG=3，CE=AC=5，由勾股定理求出EG= =4，在Rt△AEG中，由勾股定理求出AE= =4，即可得出AD的長．

試題解析：（1）∵DE=AD，DF=CD．∴四邊形ACEF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，

∴AE⊥CF，∴四邊形ACEF是菱形；

（2）∵四邊形ACEF是菱形，∴AC=CE，AD=ED，

∵EG⊥AC，cos∠ECG==，∴CG=CE=AC，

∵AG=AC+CG=8，∴CG=3，CE=AC=5，∴EG==4，

在Rt△AEG中，AE== =4，∴AD=AE=2；

故答案為：2 ．