Question

（2012•松江區一模）已知：如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，點E在線段BD上，且BE=ED，過點B作BF∥AC，交線段AE的延長線于點F．
（1）求證：AC=3BF；
（2）如果AE=

3

ED，求證：AD•AE=AC•BE．

Answer 1

分析：（1）根據平行線分線段成比例定理由BF∥AC得BF：AC=BE：EC，再利用BD=CD，BE=DE，得CE=3BE，于是即可得到結論；
（2）由AE=

3

ED得AE²=3ED²，把CE=3ED代入得AE²=CE•ED，即AE：ED=CE：AE，根據相似三角形的判定易得△AED∽△CEA，則AD：AC=ED：AE，用EB代替ED即可得到結論．

解答：證明：（1）∵BF∥AC，
∴BF：AC=BE：EC，
又∵BD=CD，BE=DE，
∴CE=3BE，
∴AC=3BF；
（2）∵AE=

3

ED，
∴AE²=3ED²，
又∵CE=3ED，
∴AE²=CE•ED，即AE：ED=CE：AE，
而∠AED=∠CEA，
∴△AED∽△CEA，
∴AD：AC=ED：AE，
又∵ED=BE，
∴AD：AC=BE：AE，
∴AD•AE=AC•BE．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：如果兩個三角形有兩組對應邊的比相等，并且這兩組對應邊所夾的角也相等，那么這兩個三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了平行線分線段成比例定理．