Question

【題目】如圖，直線y=x+4交于x軸于點A，交y軸于點C，過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數的表達式及頂點Q的坐標；

（2）在拋物線上是否存在點P，使△BPC的內心在y軸上，若存在，求出點P的坐標，若不存在寫出理由；

（3）直線y=kx-6與y軸交于點N,與直線AC的交點為M,當△MNC與△AOC相似時，求點M坐標。

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+4，Q（2）（﹣5，﹣16）（3）①②

【解析】試題分析：（1）利用一次函數的解析式求出點A、C的坐標，然后再利用B點坐標即可求出二次函數的解析式；（2）由于M在拋物線F1上，所以可設M（a，-），然后分別計算S四邊形MAOC和S△BOC，過點M作MP⊥x軸于點P，則S四邊形MAOC的值等于△APM的面積與梯形POCM的面積之和．（3）由于沒有說明點P的具體位置，所以需要將點P的位置進行分類討論，當點P在A′的右邊時，此情況是不存在；當點P在A′的左邊時，此時∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似，則分為以下兩種情況進行討論：①=；②=.

試題解析：（1）令y=0代入y=x+4，

∴x=﹣3，A（﹣3，0），

令x=0，代入y=x+4，∴y=4，∴C（0，4），

設拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣，

∴y=﹣x2﹣x+4，Q

(2)∵點B的坐標為（1，0），

取點B關于y軸的對稱點B′（﹣1，0），連接CB′，

則∠BCO=∠B′CO，

∴△BPC的內心在y軸上，直線B′C的解析式為y=4x+4，

聯立，

∴點P的坐標為（﹣5，﹣16）；

N(0,-6),直線AC的表達式為，

當△MNC∽△AOC時，①∠CMN為直角

設 ，根據勾股定理可得

②當∠CNM為直角時，MN∥x軸，∴