Question

如圖①，將一個內角為120°的菱形紙片沿較長對角線剪開，得到圖②的兩張全等的三角形紙片．將這兩張三角形紙片擺放成圖③的形式．點B、F、C、D在同一條直線上，AB分別交DE、EF于點P、M，AC交DE于點N．

    （1）求證：△APN≌△EPM．

（2）連接CP，試確定△CPN的形狀，并說明理由．

（3）當P為AB的中點時，求△APN與△DCN的面積比．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）直角三角形，理由見解析（3）△APN與△DCN的面積比為3:1

【解析】（1）由菱形性質得∠A=∠B=∠D=∠E，   ∴PB=PD． ………………1分

∵AB=DE，∴PA=PE．………………………………………………………2分

∵∠EPM=∠APN，

∴△APN≌△EPM．………………………………………………………3分

 （2）∵∠ACB=∠DFE=120°，AC=BC=DF=FE，

∴∠D=∠A=∠B=30°．∴∠ACD=60°．………………………5分

∴∠CNP=90°

∴△CPN是直角三角形…………………………………………………………6分

（3）∵CA=CB，P為AB中點，∴∠ACP=60° ……………………………………7分

    在Rt△CPN中，∴PN:CN=tan60°=:1．………………………………8分

∵∠D=∠A，∠APN=∠DNC，  ∴△ANP∽△DNC．

∴．

即△APN與△DCN的面積比為3:1．……………………………………………9分

（1）我們可以利用菱形的性質及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM．

（2）求出∠D、∠ACD的度數，從而得出∠CNP=90°，從而得出△CPN是直角三角形；

（3）要求△APN與△DCN的面積比，我們可以根據菱形的性質及已知，得到PN：CN=，根據相似三角形的判定，得到△ANP∽△DNC，即△APN與△DCN的面積比為3：1．