Question

如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線l上，在l上翻滾兩次，使它轉到△A′B′C′的位置．若BC=1，AC=

3

，則頂點A運動到點A′的位置時，點A經過的路線的長是

(

4

3

+

3

2

)π

；若在l上連續翻滾2012次，點A經過的路線的長又是

(

2684

3

+

671 3

2

)π

．

Answer 1

分析：利用弧長公式即可求得：由A到A′轉過的路徑長和有A′到A″經過的路線長，二者的和就是頂點A運動到點A″的位置時，點A經過的路線的長；
根據每三次旋轉一個循環，因而在l上連續翻滾2012次，點A經過的路線的長即可求解．

解答：解：∵BC=1，AC=

3

，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴由A到A′轉過的路徑長是：

120π×2

180

=

4π

3

，
由A′到A″經過的路線長是：

90π× 3

180

=

3 π

2

，
則頂點A運動到點A″的位置時，點A經過的路線的長是：

4π

3

+

3 π

2

=（

4

3

+

3

2

）π；
繼續旋轉，則每三次旋轉一個循環，因而在l上連續翻滾2012次，點A經過的路線的長是

2012

3

×（

4

3

+

3

2

）π=（

2684

3

+

671 3

2

）π．
故答案是：（

4

3

+

3

2

）π，（

2684

3

+

671 3

2

）π．

點評：本題考查了弧長公式，正確理解每三次旋轉一個循環，以及記憶弧長公式是解題的關鍵．