Question

國家環保部發布的（環境空氣質量標準）規定：居民區的PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米．PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米，某市環保部門隨機抽取了一居民區去年若干天PM2.5的24小時平均濃度的監測數據，并統計如下：

PM濃度（微克/立方米）	日均值	頻數（天）	頻率
0＜x＜2.5	12.5	5	0.25
2.5＜x＜50	37.5	a	0.5
50＜x＜75	62.5	b	c
75＜x＜100	87.5	2	0.1

 
（1）求出表中a、b、c的值，并補全頻數分布直方圖．
（2）從樣本里PM2.5的24小時平均濃度不低于50微克/立方米的天數中，隨機抽取兩天，求出“恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度不低于75微克/立方米”的概率．
（3）求出樣本平均數，從PM2.5的年平均濃度考慮，估計該區居民去年的環境是否需要改進？說明理由．

Answer 1

解：（1）∵被抽查的天數為：5÷0.25=20天，
∴a=20×0.5=10，b=20﹣5﹣10﹣2=20﹣17=3，c=1﹣0.25﹣0.5﹣0.1=1﹣0.85=0.15。
補全統計圖如圖所示：

（2）設50＜x＜75的三天分別為A1、A2、A3，75＜x＜100的兩天分別為B1、B2，
根據題意畫出樹狀圖如下：

∵一共有20種情況，“恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度不低于75微克/立方米”的有12種情況，
∴“恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度不低于75微克/立方米”的概率為。
（3）平均濃度為：（微克/立方米），
∵40＞35，
∴從PM2.5的年平均濃度考慮，該區居民去年的環境需要改進。

試題分析：（1）先根據第一組的頻數與頻率求出被抽查的天數，然后乘以頻率0.5求出a，再求出b，根據頻率之和等于1求出c。
（2）設50＜x＜75的三天分別為A1、A2、A3，75＜x＜100的兩天分別為B1、B2，然后畫出樹狀圖，再根據概率公式列式計算即可得解。
（3）利用加權平均數的求解方法，列式進行計算，然后與PM2.5的年平均濃度標準比較即可得解。