Question

【題目】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD的中點E，AE的延長線與BC的延長線交于點P．

（1）說明：AP是⊙O的切線；
（2）若OC=CP，AB=6，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AO，AC（如圖）．

∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=∠CAD=90°
∵E是CD的中點，

∴CE=DE=AE．

∴∠ECA=∠EAC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵CD是⊙O的切線，

∴CD⊥OC．

∴∠ECA+∠OCA=90°．

∴∠EAC+∠OAC=90°．

∴OA⊥AP．

∵A是⊙O上一點，

∴AP是⊙O的切線

（2）解：由（1）知OA⊥AP．

在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，

∴sinP= ．

∴∠P=30°．

∴∠AOP=60°．

∵OC=OA，

∴∠ACO=60°．

在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，

∴ ．

又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，

∴CD= = = =4

【解析】（1）連接AO，AC．由直徑所對的圓周角是直角得出∠BAC=∠CAD=90°，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CE=DE=AE．進而得出∠ECA=∠EAC，又由同圓的半徑相等∠OAC=∠OCA．由圓的切線性質得出∠ECA+∠OCA=90°．由等量代換得出∠EAC+∠OAC=90°即可（2）由直角三角形的邊之間的關系找出∠AOP=60°，進而得出∠ACO=60°，然后在在Rt△BAC中由銳角三角函數得出AC的長度，在Rt△ACD中再由銳角三角函數得出CD的長度。
【考點精析】通過靈活運用解直角三角形，掌握解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．