Question

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時AP•CQ的值為______．將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°＜α＜90°，則AP•CQ的值是否會改變？
答：______．（填“會”或“不會”）此時AP•CQ的值為______．（不必說明理由）
（2）在（1）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式．（圖2、圖3供解題用）
（3）在（1）的條件下，PQ能否與AC平行？若能，求出y的值；若不能，試說明理由．

Answer 1

解：（1）8，不會，8；
∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜邊中點為O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．
∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴=，
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（AC）²=8．

（2）當0°＜α≤45°時，如圖2，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∵O是斜邊的中點，
∴DM=DN=2，
∵CQ=x，則AP=，
∴S_△APD=••2=，S_△DQC=x×2=x，
∴y=8--x（2≤x＜4），
當45°＜α＜90°時，如圖3，過點D作DG⊥BC于G，DG=2
∵CQ=x，
∴AP=，
∴BP=-4
∵=，
即=，MG=…
∴MQ=+（2-x）=
∴y=（0＜x＜2）；

（3）在圖（2）的情況下，
∵PQ∥AC時，BP=BQ，
∴AP=QC
∴x=，解得x=2，
∴當x=2時，y=8--2=8-4．
分析：（1）根據等腰直角三角形的性質可知∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，故可得出△APD∽△CDQ，由相似三角形的對應邊成比例即可求出AP•CQ的值，當將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α，同理可得△APD∽△CDQ，故可得出結論；
（2）由于三角板DEF的旋轉角度不能確定，故應分0°＜α≤45°與45°＜α＜90°時兩種情況進行討論，①當0°＜α≤45°時，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，則DM=DN=2，由于CQ=x，則AP=，再用x表示出△APD及△DQC的面積即可；②當45°＜α＜90°時，過點D作DG⊥BC于G，DG=2，用x表示出AP及BP的值，再根據=即可求出MG及MQ的值，進而可得出結論；
（3）在圖（2）的情況下，根據PQ∥AC時，BP=BQ，即可求出x的值，進而得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質及圖形旋轉的性質，三角形的面積公式，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．