Question

【題目】【結論再現】

（）如圖①，在中， ， ，則__________， __________．

【問題解決】

（）如圖②，四邊形是一張邊長為的正方形紙片， 、分別為、的中點，沿過點的折痕將紙片翻折，使點落在上的點處，折痕交于點，求的度數和的長．

【問題探究】

（）如圖③，點是等腰斜邊所在直線上一點，且滿足，求的大小和此時的值．

Answer 1

【答案】（）30， ；（）， ；（）的度數為或， ．

【解析】試題分析：（1）通過求∠B 的正弦和正切即可得；

（2）根據正方形的性質，即可得∠C=∠A=90°，AD=BC=CD=AB，又由E、F分別為AB、CD的中點，即可得在Rt△A′DF中，由sin∠FA′D= = ，即可求得∠DA′F的度數，再由平角即可得的度數，再利用勾股定理通過計算即可得BG的長；

（3）分①點D 在BC邊上，②點D 在BC延長線上，兩種情況通過討論即可得.

試題解析：（）； ．

（）∵折疊后得到，∴，且，

∴在中， ，sin∠FA′D= =，∴，

∴，

在中， ，∴，

又∵在中， ，那么，

∴，∴，

則，那么 ．

（）如圖，①當在邊上時，將線段繞點順時針方向旋轉得到線段，連接，

與（）同理可證≌，

∴， ，

∵，∴，∴，∴，

∵,∴四邊形． 、． 四點共圓，∴，

∴．

②當在延長線上時，將線段繞點逆時針方向旋轉得到線段，連接．

同理可證： ，

∵,∴四邊形． ． 、四點共圓，∴，

∴，

綜上， 的度數為或．

比值計算如下：

過點作，如圖，

則在中， ， ，∴， ，

在中， ，

設， ，∴，

∴，

∴．