Question

小知識：如圖，我們稱兩臂長度相等（即CA=CB）的圓規為等臂圓規．當等臂圓規的兩腳擺放在一條直線上時，若張角∠ACB=x°，則底角∠CAB=∠CBA=（90-

x

2

）°．
請運用上述知識解決問題：如圖，n個相同規格的等臂圓規的兩腳依次擺放在同一條直線上，其張角度數變化如下：∠A₁C₁A₂=160°，∠A₂C₂A₃=80°，∠A₃C₃A₄=40°，∠A₄C₄A₅=20°，…

（1）①由題意可得∠A₁A₂C₁=

 

°；
②若A₂M平分∠A₃A₂C₁，則∠MA₂C₂=

 

°；
（2）∠A_n+1A_nC_n=

 

°（用含n的代數式表示）；
（3）當n≥3時，設∠A_n-1A_nC_n-1的度數為a，∠A_n+1A_nC_n-1的角平分線A_nN與A_nC_n構成的角的度數為β，那么a與β之間的等量關系是

 

，請說明理由．（提示：可以借助下面的局部示意圖）

Answer 1

分析：利用角的和差關系計算，注意利用等腰三角形的性質．

解答：解：（1）①10；②35；

（2）∠A_n+1A_nC_n是△A_n+1A_nC_n的底角，頂角是：

160

2n

=

80

2n-1

°，則
）∠A_n+1A_nC_n=(90-

80

2n-1

)°；（注：寫成(90-

160

2n

)的不扣分，丟掉括號的不扣分）

（3）α-β=45°；理由：不妨設∠C_n-1=k．
根據題意可知，∠Cn=

k

2

．在△A_nA_n-1C_n-1中，由小知識可知∠A_n-1A_nC_n-1=α=90°-

k

2

．∴∠A_n+1A_nC_n-1=180°-α=90°+

k

2

．
在△A_n+1A_nC_n中，由小知識可知∠A_n+1A_nC_n=90°-

k

4

．
∵A_nN平分∠A_n+1A_nC_n-1，
∴∠1=

1

2

∠A_n+1A_nC_n-1=45°+

k

4

．
∵∠A_n+1A_nC_n=∠1+∠C_nA_nN，
∴90°-

k

4

=45°+

k

4

+β．
∴90°-

k

2

=45°+β．
∴α=45°+β．
∴α-β=45°．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質：等腰三角形的兩個底角相等．