Question

【題目】同學們知道：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．”

（1）請寫出它的逆命題　 　；該逆命題是一個　 　命題（填“真”或“假”）

（2）若你的判斷是真命題請寫出證明過程（要求畫圖，并寫出已知，求證）．若是假命題，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，真；（2）已知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°．求證：BC＝AB．

【解析】

（1）寫出逆命題，并判斷是真命題；

（2）首先寫出已知、求證，畫出圖形，借助等邊三角形的判定和性質證明或借助三角形的外接圓證明．

解：（1）原命題的逆命題為：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，該逆命題是一個真命題；

（2）已知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°．

求證：BC＝AB．

證明：

證法一：如圖1所示，延長BC到D，使CD＝BC，連接AD，易證AD＝AB，∠BAD＝60°．

∴△ABD為等邊三角形，

∴AB＝BD，

∴BC＝CD＝AB，即BC＝AB．

證法二：如圖2所示，取AB的中點D，

連接DC，有CD＝AB＝AD＝DB，

∴∠DCA＝∠A＝30°，∠BDC＝∠DCA+∠A＝60°．

∴△DBC為等邊三角形，

∴BC＝DB＝AB，即BC＝AB．

證法三：如圖3所示，在AB上取一點D，使BD＝BC，

∵∠B＝60°，

∴△BDC為等邊三角形，

∴∠DCB＝60°，∠ACD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°＝∠A．

∴DC＝DA，即有BC＝BD＝DA＝AB，

∴BC＝AB．

證法四：如圖3所示，作△ABC的外接圓⊙D，∠C＝90°，AB為⊙O的直徑，

連DC，有DB＝DC，∠BDC＝2∠A＝2×30°＝60°，

∴△DBC為等邊三角形，

∴BC＝DB＝DA＝AB，即BC＝AB．