Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發，向點B以個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；
（2）問：當t為何值時，△APQ為直角三角形;
（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標.
（4）設拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴當y=0時，x=3，即A點坐標為（3，0），

當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3），

將A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得，解得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如圖①所示：∠PQA=90°時，設運動時間為t秒，則QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；

如圖②所示：∠QPA=90°時，設運動時間為t秒，則QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．

綜上所述，當t=1或t=時，△PQA是直角三角形.

（3）

解：

如圖③所示：

設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點Q的坐標為（3﹣t，t），點F的坐標為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

將t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得點F的坐標為（2，3）．

（4）

解：

如圖④所示：

設運動時間為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t）．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴點M的坐標為（1，4）．

∴MB==．

當△BOP∽△QBM時，即：，整理得：t2﹣3t+3=0，

△=32﹣4×1×3＜0，無解：

當△BOP∽△MBQ時，即：，解得t=．

∴當t=時，以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似．

【解析】（1）先由直線AB的解析式為y=﹣x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=﹣x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）由直線與兩坐標軸的交點可知：∠QAP=45°，設運動時間為t秒，則QA=t ， PA=3﹣t，然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數值列出關于t的方程求解即可；
（3）設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點Q的坐標為（3﹣t，t），點F的坐標為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2 ， EP∥FQ，EF∥PQ，所以四邊形為平行線四邊形，由平行四邊形的性質可知EP=FQ，從而的到關于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后將t=1代入即可求得點F的坐標；
（4）設運動時間為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t），然后由拋物線的解析式求得點M的坐標，從而可求得MB的長度，然后根據相似相似三角形的性質建立關于t的方程，然后即可解得t的值．