Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，直線(xiàn)AE交BD于點(diǎn)M，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，G是EF的中點(diǎn)，連結(jié)CG．求證： ①△ABM≌△CBM；
②CG⊥CM．

Answer 1

【答案】證明：①∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
②∵△ABM≌△CBM，
∴∠BAM=∠BCM，
∵∠ECF=90°，G是EF的中點(diǎn)，
∴GC=GF，
∴∠GCF=∠F，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM=∠F，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，
∴GC⊥CM．
【解析】①利用正方形的性質(zhì)得出AB=CB，∠ABM=∠CBM，進(jìn)而利用SAS得出答案；②直接利用全等三角形的性質(zhì)得出∠BAM=∠BCM，進(jìn)而得出∠BAM=∠F，∠BCM=∠GCF進(jìn)而求出答案．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．