Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）與x軸交于點A（﹣5，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點E為x軸下方拋物線上的一動點，當S△ABE=S△ABC時，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（﹣2，﹣5）；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）把A、B兩點的坐標代入，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；

（2）當S△ABE=S△ABC時，可知E點和C點的縱坐標相同，可求得E點坐標；

（3）在△CAE中，過E作ED⊥AC于點D，可求得ED和AD的長度，設出點P坐標，過P作PQ⊥x軸于點Q，由條件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的對應邊可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

試題解析：（1）把A、B兩點坐標代入解析式，可得：，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）在中，令x=0可得y=﹣5，∴C（0，﹣5），∵S△ABE=S△ABC，且E點在x軸下方，∴E點縱坐標和C點縱坐標相同，當y=﹣5時，代入可得，解得x=﹣2或x=0（舍去），∴E點坐標為（﹣2，﹣5）；

（3）假設存在滿足條件的P點，其坐標為（m，），如圖，連接AP、CE、AE，過E作ED⊥AC于點D，過P作PQ⊥x軸于點Q，則AQ=AO+OQ=5+m，PQ=，在Rt△AOC中，OA=OC=5，則AC=，∠ACO=∠DCE=45°，由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，∴AD=AC﹣DC==．當∠BAP=∠CAE時，則△EDA∽△PQA，∴，即，∴或；

①當時，整理可得，解得m=或m=﹣5（與A點重合，舍去）；

②當時，整理可得，解得m=或m=﹣5（與A點重合，舍去），∴存在滿足條件的點P，其橫坐標為或．