Question

如果兩個正數，即，有下面的不等式：

          當且僅當時取到等號

我們把叫做正數的算術平均數，把叫做正數的幾何平均數，于是上述不等式可表述為：兩個正數的算術平均數不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數。它在數學中有廣泛的應用，是解決最值問題的有力工具。下面舉一例子：

例：已知，求函數的最小值。

解：令，則有，得，當且僅當時，即時，函數有最小值，最小值為。

根據上面回答下列問題

1.已知，則當         時，函數取到最小值，最小值

為         

2.用籬笆圍一個面積為的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所

用的籬笆最短，最短的籬笆周長是多少

3.已知，則自變量取何值時，函數取到最大值，最大值為多少？

 

Answer 1

【答案】

 

1.已知，則當時，函數取到最小值，最小值

為；

2.設這個矩形的長為x米，則寬為　　米，所用的籬笆總長為y米，

根據題意得：y＝2x+                 ………………………………1分

由上述性質知：x > 0， 2x≥40

此時，2x＝   x＝10                          ………………………………2分

答：當這個矩形的長、寬各為10米時，所用的籬笆最短，

最短的籬笆是40米；                                    …………………………1分

3.令＝＝x－2

x > 0，＝x≥6

當x＝3時，y最大＝1／4………………………………………4分

 【解析】略