Question

學習數學應該積極地參加到現實的、探索的數學活動中去，努力地成為學習的主人．下面，請你探究：隨著P點位置的變化，∠BPC與∠A的大小關系．（1）、（2）問用“＞”表示其關系，（3）、（4）、（5）用“=”表示其關系．
1如圖（1），點P在AC上（不同于A、C兩點），∠BPC與∠A的關系是

 

，用一句話說出你判斷的依據

 

；
②如圖（2），點P在△ABC內部，∠BPC與∠A的關系是

 

；
③如圖（3），點P是∠ABC、∠ACB平分線的交點，此時∠BPC與∠A的關系是

 

；
④如圖（4），點P是∠ABC平分線和∠ACB外角平分線的交點，∠BPC與∠A的關系是

 

；
⑤如圖（5），點P是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點，∠BPC與∠A的關系是

 

；
⑥在上述五種情形中，選擇其中一種情形給予說明理由．
⑦問題解決：
如圖（6），在△ABC中，∠C=90°，點P是∠ABC平分線和∠BAC外角平分線的交點，則∠P的度數為

 

．

Answer 1

分析：由已知，此題是根據三角形內角和定理及三角形的外角性質判斷分析解答各題的．

解答：解：①∠BPC＞∠A．
②∠BPC＞∠A．
③∠BPC=

1

2

（∠A+180°）．
④∠BPC=

1

2

∠A．
⑤∠BPC=

1

2

（180°-∠A）．
⑥第①題，∠BPC＞∠A．
∵如圖（1）∠BPC是△APB的外角，
∴∠BPC=∠A+∠ABP．（三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和）
所以∠BPC＞∠A．
故答案為：∠BPC＞∠A，三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和．
⑦已知點P是∠ABC平分線和∠BAC外角平分線的交點，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（角平分線的性質）
∠1+∠2是△ABC的外角，
∴∠1+∠2=∠C+∠3+∠4（三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和），
∴2∠2=90°+2∠3（等量代換）
∴∠2=45°+∠3--------①
如圖∠2為△APB的外角，
∴∠2=∠P+∠3----------②（三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和），
①②等量代換得：
∠P+∠3=45°+∠3，
所以，∠P=45°．
故答案為：45°．

點評：此題考查的知識點是三角形內角和定理與三角形外角的性質．解答此題的關鍵是根據三角形內角和定理及三角形的外角性質判斷分析解答．