Question

若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，則有x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

，由上式可知，一元二次方程的兩根和、兩根積是由方程的系數確定的，我們把這個關系稱為一元二次方程根與系數的關系．若α，β是方程x²-x-1=0的兩根，記S₁=α+β，S₂=α²+β²，…，S_n=αⁿ+βⁿ，
（1）S₁=

 

S₂=

 

S₃=

 

S₄=

 

直接寫出結果）
（2）當n為不小于3的整數時，由（1）猜想S_n，S_n-1，S_n-2有何關系？
（3）利用（2）中猜想求(

1+ 5

2

)7+(

1- 5

2

)7的值．

Answer 1

分析：（1）根據根與系數的關系，寫出α+β，αβ的值，然后運用完全平方公式和立方和公式進行計算，求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．
（2）利用（1）中S₂=3，S₃=4，S₄=7，猜想S_n=S_n-1+S_n-2，然后由α，β是方程的根，得到α²=α+1，β^，2=β+1進行證明．
（3）根據（2）中的猜想得到上式為S₇=S₆+S₅進行計算求出式子的值．

解答：解：（1）根據根與系數的關系有：
α+β=1，αβ=-1．
∴S₁=α+β=1．
S₂=α²+β²=（α+β）²-2αβ=1+2=3．
S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）²-3αβ=1+3=4．
S₄=α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=9-2=7．
（2）由（1）得：S_n=S_n-1+S_n-2．
證明：∵α，β是方程的根，∴有：α²=α+1，β²=β+1，
S_n-1+S_n-2=α^n-1+β^n-1+α^n-2+β^n-2
=

αn

α

+

αn

α2

+

βn

β

+

βn

β2

=

αn(1+α)

α2

+

βn(1+β)

β2

=αⁿ+βⁿ=S_n．
故S_n=S_n-1+S_n-2．
（3）由（2）有：
(

1+ 5

2

)7+(

1- 5

2

)7=S₇=S₆+S₅
=S₅+S₄+S₄+S₃
=S₄+S₃+2S₄+S₃
=3S₄+2S₃
=3×7+2×4=29．

點評：本題考查的是一元二次方程的根與系數的關系，（1）題根據根與系數的關系，運用乘法公式計算求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．（2）題以（1）題結果為依據猜想S_n，S_n-1，S_n-2的關系，并根據α，β是方程的根進行證明．（3）題利用（2）題的結論進行計算求出式子的值．