Question

【題目】如圖，E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F在CD邊上，且∠BEF＝90°，EF＝2BE．點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)H為DG的中點(diǎn)，連接EH并延長到點(diǎn)P，使得PH＝EH，連接DP．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：DP＝BE；

（3）連接EC，CP，猜想線段EC和CP的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可以畫出完整的圖形；
（2）由EF＝2BE，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)可知，要證明DP＝BE，只要證明DP=EG即可，要證明DP=EG，只要證明ΔPDH≌ΔEGH即可，然后根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定即可證明結(jié)論成立；
（3）首先寫出線段EC和CP的數(shù)量關(guān)系，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．

解：（1）依題意補(bǔ)全圖形如下：

（2）∵點(diǎn)H為線段DG的中點(diǎn)，

∴DH＝GH．

在ΔPDH和ΔEGH中，

∵EH=PH，∠EHG=∠PHD，

∴ΔPDH≌ΔEGH（SAS）．

∴DP＝EG．

∵G為EF的中點(diǎn)，

∴EF＝2EG．

∵EF＝2EB，

∴BE＝EG＝DP．

（3）猜想：EC=CP．

由（2）可知ΔPDH≌ΔEGH．

∴∠HEG=∠HPD．

∴DP∥EF．

∴∠PDC=∠DFE．

又∵∠BEF=∠BCD=90°，

∴∠EBC+∠EFC=180°．

又∵∠DFE+∠EFC=180°，

∴∠EBC=∠DFE=∠PDC．

∵BC=DC，DP=BE，

∴ΔEBC≌ΔPDC（SAS）．

∴EC=PC．

故答案為：（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析．