Question

【題目】在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24-94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的邊AB上的高h．

（2）設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？

（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．

Answer 1

【答案】（1）4.8 （2）2.4（3）見解析

【解析】試題分析：首先利用勾股定理求得的長．再利用三角形面積的兩種求法解得高的值．
（2）根據(jù)相似形對(duì)應(yīng)邊成比例列出矩形面積關(guān)于的關(guān)系式S矩形DEFN

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求關(guān)系式的最大值．
（3）根據(jù)（2）知，知道的取值，此時(shí)S矩形DEFN最大，求得的值．再利用勾股定理求得的值，并與1.85比較大小．

試題解析：(1)過C作CG⊥AB于G，則CG=h，

在Rt△ABC中,

根據(jù)三角形面積公式得：

(2)∵如圖,NF∥AB，

∴△CNF∽△CAB

∴

∴S矩形DEFN

則當(dāng)x=2.4時(shí),S矩形DEFN最大；

(3)當(dāng)S矩形DEFN最大，x=2.4，

過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，

∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∵

∴F為BC中點(diǎn)，

在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3

∵BM=1.85

∴BM>EB

故文物必位于欲修建的建筑物邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案

∵x=2.4時(shí)，NF=5

∴AD=3.2

由圓的對(duì)稱性知：滿足題設(shè)條件的設(shè)計(jì)方案是：

將最大面積的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C點(diǎn)在半圓周上的△ABC中.