Question

（2009•門頭溝區一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，且點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，3）．
（1）求拋物線及直線AC的解析式；
（2）E、F是線段AC上的兩點，且∠AEO=∠ABC，過點F作與y軸平行的直線交拋物線于點M，交x軸于點N．當MF=DE時，在x軸上是否存在點P，使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是位于拋物線對稱軸左側圖象上的一點，試比較銳角∠QCO與∠BCO的大小（直接寫出結果，不要求寫出求解過程，但要寫出此時點Q的橫坐標x的取值范圍）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法，把已知坐標代入求出拋物線的解析式．設直線AC的解析式為y=kx+n，爸已知坐標代入求出直線AC的解析式．
（2）首先證明△AEO∽△ABC，利用線段比求出AE的長．然后作EH⊥y軸于H，易得E點坐標．設F點的坐標為（x，x+3），M點的坐標為（x，-x²-2 x+3），求出點P的坐標，然后根據MP∥FA所推出的線段比求出PN的值從而求出P點坐標．
（3）份額根據x的取值范圍不同求解．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過B（1，0）、C（0，3）兩點
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3
由y=-x²-2x+3可得A點坐標為（-3，0）
設直線AC的解析式為y=kx+n，
∴
解得
∴直線AC的解析式為y=x+3．

（2）∵OA=OC=3，OB=1
∴△AOC是等腰直角三角形，AC=，AB=4
∴∠ECO=45°
∵∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC
∴△AEO∽△ABC
∴
∴
∴AE=．
∴CE=AC-AE=-=
過點E作EH⊥y軸于H
可得EH=CH=1，OH=2
∴E點的坐標為（-1，2）
∵拋物線y=-x²-2x+3頂點D的坐標為（-1，4）
∴ED=2
∴MF=ED=2
∵F在線段AC上，M在拋物線y=-x²-2x+3上
∴設F點的坐標為（x，x+3），M點的坐標為（x，-x²-2 x+3）
∴-x²-2 x+3-（x+3）=2
解得x₁=-2，x₂=-1（不合題意，舍去）
∴F點的坐標為（-2，1）
∴FN=NA=1
在x軸上存在點P，使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形
當FP∥MA時，可得
∴
∴
∴P點的坐標為（-，0）
當MP∥FA時，可得
∴PN=3
∴P點的坐標為（-5，0）
∴在x軸上存在點P使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形
點P的坐標為（-，0）或（-5，0）．

（3）當x＜-5時，銳角∠QCO＜∠BCO
當x=-5時，銳角∠QCO=∠BCO
當-5＜x＜-1時，銳角∠QCO＞∠BCO．
點評：本題考查的是二次函數的有關知識以及相似三角形的判定定理，難度較大．