Question

如圖直線l：y=kx+2-4k（k為實(shí)數(shù)）．
（1）求證：不論k為任何實(shí)數(shù)，直線l都過定點(diǎn)M，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若直線l與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)．求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）分別令k=1，k=2得出關(guān)于x、y的二元一次方程，進(jìn)而可得出M的坐標(biāo)，將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的解析式即可得到2=2，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）分別取x=0，y=0即可得到OA、OB的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到關(guān)于k的二元一次方程，再根據(jù)此方程的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：令k=1．得y=x-2；令k=2，得y=2x-6，
聯(lián)立解得x=4，y=2．
故定點(diǎn)為M（4.2），
將點(diǎn)M（4.2）的坐標(biāo)代入直線l的方程，得2=2，
這是一個(gè)與k無關(guān)的恒等式．故不論k為任何實(shí)數(shù)，直線l都過定點(diǎn)M（4.2）；

（2）解：取x=0，得OB=2-4k（k＜0），
取y=0．得OA=

4k-2

k

（k＜0），
于是S_△AOB=

(4k-2)(2-4k)

2k

（k＜0），
將上式轉(zhuǎn)化為二次方程得，8k²+（s-8）k+2=0．①
因?yàn)閗為實(shí)數(shù)，
所以△=（S-8）²-64≥O．即S²-16S≥O，故S≥16．
將S=16代入式①．得k=-

1

2

，
所以當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，S_△AOB最小=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到根的判別式及三角形的面積公式，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．