Question

（2004•蕪湖）通過市場調查，一段時間內某地區特種農產品的需求量y（千克）與市場價格x（元/千克）存在下列函數關系式：y=+6000（0＜x＜100）；又已知該地區農民的這種農產品的生產數量z（千克）與市場價格x（元/千克）成正比例關系：z=400x（0＜x＜100），現不計其它因素影響，如果需求數量y等于生產數量z時，即供需平衡，此時市場處于平衡狀態．
（1）根據以上市場調查，請你分析當市場處于平衡狀態時，該地區這種農產品的市場價格與這段時間內農民的總銷售收入各是多少？
（2）受國家“三農”政策支持，該地區農民運用高科技改造傳統生產方式，減少產量，以大力提高產品質量．此時生產數量z與市場價格x的函數關系發生改變，而需求函數關系未發生變化，當市場再次處于平衡狀態時，市場價格已上漲了a（0＜a＜25）元，問在此后的相同時間段內該地區農民的總銷售收入是增加了還是減少了，變化多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）平衡狀態時，讓y=z求出相應的x，再把價格x代入第二個函數解析式中，求出數量，讓價格×數量即為總銷售收入；
（2）處于平衡狀態，市場價格為（x+a）元；需求量=生產數量．算出相應的市場價格，再把價格x+a代入第二個函數解析式中，求出數量，讓價格×數量即為后來的總銷售收入，然后來的銷售收入減去（1）中算出的銷售收入即可．
解答：解：（1）由已知市場處于平衡，此時y=z，得+6000=400x，
（x-25）（x+10）=0，
∴x₁=25，x₂=-10（舍去），
把x=25代入z=400x中，得
z=10000（千克），
一段時間內該地區農民的總銷售收入=25×10000=250000（元）．

（2）∵需求函數關系未變，
∴平衡點仍在需求函數圖象上．
由已知此時價格為（a+25）元/千克，代入y=+6000中，得
此時的需求數量y₁=+6000（千克），
又∵此時市場處于平衡，生產數量z₁=需求數量y₁，
∴此時的總銷售收入為（a+25）•=250000+6000a（0＜a＜25），
∴農民總銷售收入增加了（250000+6000a）-250000=6000a（元）．
點評：根據題意列出方程是解題的關鍵．本題的等量關系為：總銷售收入=銷售價格×銷售數量，需求得與此相關的兩個量，運用函數的思想進行解題是需要掌握的基本能力．