Question

如下圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1 cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤6）那么：
（1）當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？
（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結果有關的結論；
（3）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）根據題意分析可得：因為對于任何時刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．當QA=AP時，△QAP為等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根據（1）中．在△QAC中，QA=6-t，QA邊上的高DC=12，由三角形的面積公式可得關系式，計算可得在P、Q兩點移動的過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變；
（3）根據題意，在矩形ABCD中，可分為

QA

AB

=

AP

BC

、

QA

BC

=

AP

AB

兩種情況來研究，列出關系式，代入數據可得答案．

解答：解：（1）對于任何時刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．
當QA=AP時，△QAP為等腰直角三角形，即：6-t=2t，
解得：t=2（s），
所以，當t=2s時，△QAP為等腰直角三角形．

（2）在△QAC中，QA=6-t，QA邊上的高DC=12，
∴S_△QAC=

1

2

QA•DC=

1

2

（6-t）•12=36-6t．
在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S_△APC=

1

2

AP•BC=

1

2

•2t•6=6t．
∴S_{四邊形QAPC}=S_△QAC+S_△APC=（36-6t）+6t=36（cm²）．
由計算結果發現：
在P、Q兩點移動的過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變．（也可提出：P、Q兩點到對角線AC的距離之和保持不變）．

（3）根據題意，可分為兩種情況來研究，在矩形ABCD中：
①當

QA

AB

=

AP

BC

時，△QAP∽△ABC，那么有：

6-t

12

=

2t

6

，解得t=

6

5

=1.2（s），
即當t=1.2s時，△QAP∽△ABC；

②當

QA

BC

=

AP

AB

時，△PAQ∽△ABC，那么有：

6-t

6

=

2t

12

，解得t=3（s），
即當t=3s時，△PAQ∽△ABC；
所以，當t=1.2s或3s時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：此題比較復雜，綜合了等腰三角形、相似三角形的判定定理與性質，是一道具有一定綜合性的好題．