Question

如圖，已知平面直角坐標系xOy中，點A（2，m），B（-3，n）為兩動點，其中m＞1，連接OA，OB，OA⊥OB，作BC⊥x軸于C點，AD⊥x軸于D點．
（1）求證：mn=6；
（2）當S_△AOB=10時，拋物線經過A，B兩點且以y軸為對稱軸，求拋物線對應的二次函數的關系式；
（3）在（2）的條件下，設直線AB交y軸于點F，過點F作直線l交拋物線于P，Q兩點，問是否存在直線l，使S_△POF：S_△QOF=1：2？若存在，求出直線l對應的函數關系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A、B的坐標，可得OC、OD、BC、AD的長，由于OA⊥OB，可證得△BOC∽△OAD，根據相似三角形所得比例線段，即可證得所求的結論．
（2）欲求拋物線的解析式，需先求出A、B的坐標；根據（1）的相似三角形，可得3OA=mOB，用OB表示出OA，代入△OAB的面積表達式中，可得到OB²的值，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求得另外一個OB²的表達式，聯立兩式可得關于m、n的等式，結合（1）的結論即可求出m、n的值，從而確定A、B的坐標和拋物線的解析式．
（3）求直線l的解析式，需先求出P、Q的坐標，已知S_△POF：S_△QOF=1：2，由于兩三角形同底不等高，所以面積比等于高的比，即P、Q兩點橫坐標絕對值的比，可設出點P的坐標，然后根據兩者的比例關系表示出點Q的坐標，由于點Q在拋物線的圖象上，可將其代入拋物線的解析式中，即可求得點P、Q的坐標，進而可利用待定系數法求得直線l的解析式．

解答：證明：（1）∵A，B點坐標分別為（2，m），（-3，n），
∴BC=n，OC=3，OD=2，AD=m，
又∵OA⊥OB，易證△CBO∽△DOA，
∴

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，
∴

n

2

=

3

m

，
∴mn=6．

解：（2）由（1）得，OA=

m

3

BO，又S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10，
即BO•OA=20，
∴mBO²=60，
又∵OB²=BC²+OC²=n²+9，
∴m（n²+9）=60，
又∵mn=6①，
∴m（n²+9）=mn•n+9m=6n+9m=60，
∴2n+3m=20②，
∴①②聯立得，m=6（m=

2

3

不合題意，舍去），n=1；
∴A坐標為（2，6），B坐標為（-3，1），
易得拋物線解析式為y=-x²+10．

（3）直線AB為y=x+4，且與y軸交于F（0，4）點，
∴OF=4，
假設存在直線l交拋物線于P，Q兩點，且使S_△POF：S_△QOF=1：2，如圖所示，
則有PF：FQ=1：2，作PM⊥y軸于M點，QN⊥y軸于N點，
∵P在拋物線y=-x²+10上，
∴設P坐標為（t，-t²+10），
則FM=-t²+10-4=-t²+6，易證△PMF∽△QNF，
∴

PM

QN

=

MF

FN

=

PF

QF

=

1

2

，
∴QN=2PM=-2t，NF=2MF=-2t²+12，
∴ON=-2t²+8，
∴Q點坐標為（-2t，2t²-8），
Q點在拋物線y=-x²+10上，2t²-8=-4t²+10，
解得t=-

3

，(t=

3

舍去)，
∴P坐標為（-

3

，7），Q坐標為（2

3

，-2），
∴易得直線PQ為y=-

3

x+4；
根據拋物線的對稱性可得直線PQ的另解為y=

3

x+4．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、圖形面積的求法以及用待定系數法確定函數解析式的方法，在（3）題中，能夠將三角形的面積比轉化為P、Q兩點橫坐標的比例關系是解決問題的關鍵．