Question

【題目】在平面直角坐標系中，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點．將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，連結CD，AD．點P是直線BD上的一個動點．

（1）求點D的坐標和直線BD的解析式；

（2）當∠PCD＝∠ADC時，求點P的坐標；

（3）若點Q是經過點B，點D的拋物線y＝ax2+bx+2上的一個動點，請你探索：是否存在這樣的點Q，使得以點P、點Q、點D為頂點的三角形與△ACD相似．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標為（2，）或（8，）；（3）見解析.

【解析】

（1）作DE⊥x軸，構造全等三角形求點D的坐標，待定系數法求BD的解析式；

（2）要特別注意∠PCD＝∠ADC有兩種情況：∠PCD在直線CD的下方或上方，防止漏解；

（3）根據∠PDQ分別與∠ACD，∠ADC，∠CAD相等進行討論，每種情形都還要再分兩種情況進行分析，還要注意點在點D的左側和右側兩種不同情況，以防漏解．

解：（1）如圖1，過D作DE⊥x軸于E，由旋轉得：BA＝BD，∠ABD＝90°，

∵DE⊥x軸，

∴∠BED＝∠AOB＝90°

∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠DBE+∠ABO＝90°，

∴∠BAO＝∠DBE

∴△BAO≌△DBE（AAS）

∴BE＝OA＝2，DE＝OB＝1，

∴OE＝OB+BE＝1+2＝3

∴D（3，1）；

設直線BD的解析式為y＝mx+n，將B（1，0），D（3，1）分別代入得，解得，

∴直線BD的解析式為．

（2）如圖2，∵∠PCD＝∠ADC

∴CP∥AD

∴，

∵BC＝CA

∴BP＝PD

∴P（2，），

作點P關于直線CD的對稱點P′（2，），連接CP′，則∠P′CD＝∠PCD＝∠ADC

設直線CP′的解析式為y＝m1x+n1，將C（，1），P′（2，）代入得，解得，

∴直線CP′的解析式為，

聯立方程組，解得，∴P（8，），

綜上所述：點P的坐標為（2，）或（8，）．

（3）將B（1，0），D（3，1）分別代入y＝ax2+bx+2得，

解得，

∴拋物線解析式為，

△PDQ與△ACD相似分三種情況：

①如圖3，∠PDQ＝∠DAC＝45°，延長AB至M，使BM＝BD，連接DM交拋物線于Q，

作BN∥y軸，MN∥x軸交BN于N，

∴BM＝BD＝，∠MBN＝∠BAO，∠BNM＝90°

∴＝tan∠MBN＝tan∠BAO＝，

∴MN＝1，BN＝2，

∴M（2，﹣2）；

設直線DM解析式為y＝m2x+n2，將D（3，1）、M（﹣2，﹣2）代入，

得，

解得

∴直線DM解析式為

聯立方程組，

解得（舍去），

Q；

若∠DPQ＝∠ACD，則可證得PQ∥y軸，

∴P1，

若∠DPQ＝∠ADC，可求得

P2，

②∠PDQ＝∠ADC時，

如圖4，點Q位于直線BD下方時，

∠PDQ+∠CDB＝∠ADC+∠CDB，即∠CDQ＝∠ADB＝45°，

∵CD∥x軸，∴直線DQ與x軸夾角為45°，設DQ解析式為y＝x+k，將D（3，1）代入得3+k＝1，k＝﹣2

∴y＝x﹣2

聯立方程組，

解得（舍去），，

∴，

易求直線AD解析式為，

∴直線PQ解析式為

聯立方程組，解得，

∴P3，

若∠DPQ＝∠ACD，則PQ∥y軸，；

如圖5，點Q位于直線BD上方時，

在y軸上取點E（0，），延長DC交y軸于點M，連接DE交拋物線于Q，過點E作EH⊥AD于H，

作∠DQP1＝45°或∠DQP＝∠ACD，點P，P1在直線BD上，

在Rt△AEH中，tan∠ADM中，tan∠DAM＝＝3，AM＝1，DM＝3，AM＝；

在Rt△AEH中，tan∠EAD＝＝3，AE＝AO﹣OE＝2﹣，

設AH＝x，則EH＝3x，

由勾股定理得，解得x＝，

∴EH＝，DH＝

∴tan∠EDA＝＝tan∠BAC

∴∠EDA＝∠BAC

∴∠BDQ＝∠ADC

易求得直線DE解析式為y＝，可聯立方程組解得Q,

若∠DQP＝∠DAC＝45°，易求得DQ＝，

由△ADC∽△QDP得，

∴DP×DA＝DC×DQ，即，

∴DP＝

∴P5．

若∠DPQ＝∠DAC＝45°，

由△DPQ∽△DAC得

∴DP×DC＝DA×DQ，即DP×

∴DP＝

∴P6

③如圖6，∠PDQ＝∠ACD，

當點P在射線DB上時，

∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD＝∠CDB+90°

∴DQ⊥CD時，∠BDQ＝∠ACD，顯然，此時點Q不存在．

當點P在DB反向延長線上時，

易求得直線DQ解析式為y＝,

聯立方程組可求得Q，

∴DQ＝

若∠PQD＝∠ADC，則△DPQ∽△CAD

∴，即DP×CD＝CA×DQ，DP×

∴DP＝

∴P7，

若∠PQD＝∠DAC，則△DPQ∽△CDA

∴，即DP×CA＝CD×DQ，DP×

∴DP＝

∴P8

綜上所述：符合要求的點P的坐標為P1,P2，P3，； P5，P6，P7，P8．