Question

【題目】如圖，矩形中，為的中點，過點的直線分別與、交于點、，連接交于點，連接、．若，，則下列結論：①；②；③四邊形是菱形；④．其中正確結論的個數是(　　)

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接BD，先證明△BOC是等邊三角形，得出BO=BC，又FO=FC，從而可得出FB⊥OC，故①正確；因為△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不會全等于△CBM，故②錯誤；再證明四邊形EBFD是平行四邊形，由OB⊥EF推出四邊形EBFD是菱形，故③正確；先在Rt△BCF中，可求出BC的長，再在Rt△BCM中求出BM的長，從而可知④錯誤，最后可得到答案．

解：連接BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O為AC中點，∴BD也過O點，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC，

又FO=FC，BF=BF，

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF與△CBF關于直線BF對稱，

∴FB⊥OC，∴①正確；

∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，

∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，

∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，易證△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∵OB=OD，

∴四邊形EBFD是平行四邊形．

又∠EBO=∠OBF，OE=OF，

∴OB⊥EF，∴四邊形EBFD是菱形，

∴③正確；
∵由①②知△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB錯誤，

∴②錯誤；

∵FC=2，∠OBC=60°，∠OBF=∠CBF，

∴∠CBF=30°，∴BF=2CF=4，∴BC=2，

∴CM=BC=，∴BM=3，故④錯誤．

綜上可知其中正確結論的個數是2個．
故選：B．