Question

【題目】如圖，已知□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，點P從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為3cm/s；點Q從點C出發，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s，連接并延長QP交BA的延長線于點M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設運動時間為t（s）（0＜t＜1），解答下列問題：

（1）是否存在時刻t，使點P在∠BCD的平分線上；

（2）設四邊形ANPM的面積為S（cm），求S與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使四邊形ANPM與□ABCD面積相等，若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由；

（4）求t為何值時，△ABN為等腰三角形．

備用圖

Answer 1

【答案】(1) ;(2) （0＜t＜1）;(3)見解析;(4)-1

【解析】（1）當PC平分∠BCD時，則∠DCP=∠PCB， 由平行線的性質得到∠DPC=∠PCB，進而得到∠DPC=∠DCP， 由等角對等邊得到DC=PD，代入求出即可；

（2）求出AP和MN的值，根據三角形的面積公式求出即可；

（3）假設存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積等于平行四邊形ABCD的面積．根據（2）中求出的關系式，列方程求出t的值；

（4）分三種情況討論：①AB=BN，②AB=AN，③BN=AN．

（1）當PC平分∠BCD時，則∠DCP=∠PCB， ∵AD∥BC， ∴∠DPC=∠PCB， ∴∠DPC=∠DCP， ∴DC=PD．

∵DC=1，PD=3-3t， ∴3-3t=1，3t=2，t=．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠MAP=∠QDP．

又∵∠MPA=∠QPD，∴△MAP∽△QDP．

∴∴，解得：AM=t．

∵AB=CD=1，∴MB=1+t．

∵MN⊥BC，∠B=45°，∴sin45°=，∴MN=．

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，

∴SANPM=S△MAP+S△NAP=APOM+APON=AP（OM+ON）=APMN

==

∴S與t之間的函數關系式為（0＜t＜1）；

（3）不存在．理由如下：

過A作AG⊥BC于G．

∵∠B=45°，AB=1，∴AG=．

∵SANPM=SABCD，∴=，∴，解得：t=－2，t=1．

∵0＜t＜1，∴不存在在某一時刻t，使四邊形ANPM與□ABCD面積相等．

(4)由（2）可知：AM=t，∴BM=1+t．

∵∠B=45°，∴MN=BN=．AD∥BC，∴∠MAD=∠B=45°，∠AOM=∠BNM=90°．

∵AM=t， ∴AO=MO=．

∵NO=AG=，∴AN=．分三種情況討論：

①當AB=BN時，=1，解得：；

②當AB=AN時，=1，解得：t=1（舍去）；

③當BN=AN時，=時，解得：t=0 (舍)．

綜上所述：當時，△ABN為等腰三角形．