Question

某公司開發了某種新型電子產品，現投資50萬元用于該電子產品的廣告促銷．已知該電子產品的本地銷量y₁（萬臺）與本地廣告費x（萬元）函數關系為；該電子產品的外地銷量y₂（萬臺）與外地廣告費x（萬元）的關系可用如圖所示的拋物線和線段AB表示．其中A為拋物線的頂點．
（1）寫出該電子產品的外地銷量y₂（萬臺）與外地廣告費x（萬元）的函數關系；
（2）求該電子產品的銷售總量y（萬臺）與外地廣告費x（萬元）之間的函數關系；
（3）如何安排廣告費才能使銷售總量最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）分段求函數關系式：當0≤x≤30時，設拋物線的頂點式y₂=a（x-30）²+140，然后把點（0，50）代入計算可得到a=-；當30＜x≤50，y₂是常函數；
（2）設外地廣告費為x萬元，則本地廣告費為（50-x）萬元，利用本地廣告費的變化情況可分三段討論函數關系式：當0≤x≤20，y=y₁+y₂=2（50-x）+45-x²+6x+50=-x²+4x+195，
當20＜x≤30，y=y₁+y₂=3（50-x）-x²+6x+50=-x²+3x+200，當30＜x≤50，y=y₁+y₂=3（50-x）+140=-3x+290；（注意y₁的變量為50-x）
（3）分別利用配方法和一次函數的性質求出（2）中三段函數中函數取最大值時的x的值，然后確定廣告費的分配．
解答：解：（1）當0≤x≤30時，拋物線的解析式為y₂=a（x-30）²+140，
把（0，50）代入得a×（0-30）²+140=50，解得a=-，
∴y₂=-（x-30）²+140=-x²+6x+50，
當30＜x≤50，y₂=140，
∴外地銷量y₂（萬臺）與外地廣告費x（萬元）的函數關系為y₂=；
（2）設外地廣告費為x萬元，則本地廣告費為（50-x）萬元，
由于0≤50-x≤30，則20≤x≤50；30≤50-x≤50，則0≤x≤20，
當0≤x≤20，y=y₁+y₂=2（50-x）+45-x²+6x+50=-x²+4x+195，
當20＜x≤30，y=y₁+y₂=3（50-x）-x²+6x+50=-x²+3x+200，
當30＜x≤50，y=y₁+y₂=3（50-x）+140=-3x+290，
即y=；

（3）當0≤x≤20，y=-x²+4x+195=-（x-20）²+235，
x=20，y最大值為235；
當20＜x≤30，y=-x²+3x+200=-（x-15）²+222.5，
y最大值小于222.5；
當30＜x≤50，y=-3x+290，
x=30，y=-90+290=200，即y的最大值小于200，
所以當x=20時，y最大，50-x=30，
即本地廣告費30萬元，外地20萬元．
點評：本題考查了二次函數的應用：先利用待定系數法或實際問題中的數量關系求出二次函數的解析式，然后利用二次函數的性質討論最值問題．也考查了一次函數的應用．