Question

如圖，△ABC中，BD為AC邊上的中線，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分別交BC、BE、BD于F、G、H．
（1）求證：CF=2DH；
（2）若AB=BC，cos∠BCA=

3

5

，DE=4，求HD的長．

Answer 1

分析：（1）取AF的中點M，連接MD，根據三角形的中位線定理可得CF=2MD且MD∥BC，再根據角平分線的定義與垂直的定義求出∠BHG=∠BFH，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DMH=∠BFH，然后求出∠DMH=∠DHM，根據等角對等邊的性質可得DH=DM，然后即可得證；
（2）過E作EN⊥BC于N，根據等腰三角形三線合一的性質可得BD⊥AC，然后根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得EN=DE=4，再根據∠BCA的余弦值求出CE、CD的值，以及BC、BD的值，再根據∠BHG=∠BFH利用等角對等邊的性質求出BH=BF，然后設DH=x，用x表示出BH、BF，列出方程求解即可．

解答：（1）證明：取AF的中點M，連接MD，
∵AD=DC，
∴CF=2MD，且MD∥BC，
∴∠DMH=∠BFH，
又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG，
∴∠BHG=∠BFH，
而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG，
∴∠DMH=∠DHM，
∴DH=DM．而CF=2MD，
∴CF=2DH；

（2）解：過E作EN⊥BC于N，
∵AB=BC，AD=DC，
∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，EN⊥BC，
∴EN=DE=4，
在Rt△CEN中，cos∠BCA=

CN

CE

=

3

5

，
∴設CN=3k，則CE=5k，得EN=4k=4．
∴k=1，CE=5，CD=9，
在Rt△BCD中，cos∠BCA=

CD

BC

=

3

5

，
∴BC=15，BD=12，
又∵∠BHG=∠BFH，
∴BH=BF，
設DH=x，則FC=2x，BH=12-x，BF=15-2x．
由12-x=15-2x，得x=3，
∴HD=3．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質，以及解直角三角形，題目比較復雜，作輔助線構造出等腰三角形是解題的關鍵．